Elektrotechnik – 6. Wechselstrom

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

6. Wechselstrom

1. Grundlegende Begriffe und Kennwerte
2. Komplexe Wechselstromrechnung
3. Wechselstromwiderstände (Impedanz, Admittanz)
4. Grundschaltungen
5. Leistung (Wirk-, Blind-, Scheinleistung)
6. Blindleistungskompensation
7. Resonanz und Frequenzverhalten

Wechselstrom: Grundlagen

Periodische Größen:

• Sich zeitlich wiederholende physikalische Größen
• Periodendauer →
• Frequenz: , Kreisfrequenz:

Wechselgrößen:

Periodische elektrische Größen mit verschwindendem arithmetischem Mittelwert

Wechselgrößen: Eigenschaften

Fourier-Analyse: Jede Wechselgröße kann als Überlagerung von Sinusvorgängen dargestellt werden

→ Es genügt, sinusförmige Größen zu verstehen!

Arithmetischer Mittelwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen gilt:

Gleichrichtwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen:

Effektivwert: Definition

Physikalischer Hintergrund: derjenige Wert einer Wechselgröße, der in seiner Wirkung bei Energieumformung einem Gleichstrom entspricht:

Allgemeine Definition (quadratischer Mittelwert, RMS):

Effektivwert für Sinusschwingungen

Beispiele:

• Netzspannung: →
• Haushaltssicherung: →

Der Effektivwert wird von Messgeräten angezeigt!

Zusammenfassung: Kennwerte von Wechselgrößen

Notation ab jetzt: Kleinbuchstaben = Zeitverläufe; = Amplituden; (ohne Index!) = Effektivwerte

Jetzt sind Sie dran: Effektivwert (zu zweit)

Aufgabe 17

a) Ein Oszilloskop zeigt eine sinusförmige Spannung mit Spitzenwert . Was zeigt ein Multimeter an?

b) Eine Rechteckspannung springt periodisch zwischen und (je halbe Periode). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert aus den Definitionen.

c) Warum gilt die Faustregel hier nicht?

Zeigerdarstellung

Sinusförmige Wechselgrößen können als rotierende Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden.

Zeigereigenschaften:

• Winkelgeschwindigkeit:
• Länge: Amplitude (oder Effektivwert, s.u.)
• Winkel zum Zeitpunkt :

Komplexe Darstellung

Anstatt mit trigonometrischen Funktionen zu rechnen, verwenden wir die Exponentialfunktion:

Reale Zeitfunktion:

Bei einer festen Frequenz rotieren alle Zeiger gleich schnell → der Faktor kürzt sich aus allen Gleichungen → wir rechnen nur mit Festzeigern!

Konvention: Amplituden- oder Effektivwertzeiger?

Zwei verbreitete Konventionen für die Zeigerlänge:

• Amplitudenzeiger:
• Effektivwertzeiger: mit

In der Prüfung (und in der Energietechnik allgemein) sind Effektivwertzeiger üblich: „ (komplexer Effektivwert)".

Für Impedanzen ist es egal (Quotient!) — für die Leistung nicht: gilt mit Effektivwertzeigern (mit Amplitudenzeigern: Faktor ).

Komplexe Zahlen: Grundlagen

Imaginäre Einheit (in der Elektrotechnik als notiert – ist der Strom!):

Komplexe Zahl:

mit Realteil und Imaginärteil

Euler’sche Formel

Wichtige Spezialfälle (auswendig!):

Darstellungsformen

Komponentenform (kartesisch):

Polarform (Exponentialform):

Umrechnung:

• Betrag:
• Phase: (Quadrant prüfen!)
• Realteil: ; Imaginärteil:

Konjugiert komplexe Zahl

Eigenschaften:

• (reell!)

Rechenregeln

Addition/Subtraktion → Komponentenform:

Multiplikation → Polarform: Beträge multiplizieren, Phasen addieren:

Division → Polarform: Beträge dividieren, Phasen subtrahieren:

(in Komponentenform: mit konjugiertem Nenner erweitern)

Faustregel: addieren kartesisch, multiplizieren polar!

Jetzt sind Sie dran: Komplexe Zahlen (zu zweit)

Aufgabe 18

Gegeben: und
(Hinweis: )

a) Zeichnen Sie beide Größen als Zeiger im Zeigerdiagramm.
b) Stellen Sie und in kartesischer Form dar.
c) Wandeln Sie beide in Polarform um.
d) Berechnen Sie in beiden Darstellungen.
e) Vergleichen Sie die Ergebnisse: Was fällt auf?

Grundelemente im Wechselstromkreis

Die drei Grundelemente im Wechselstromkreis sind:

• Ohmscher Widerstand R
• Kapazität C
• Induktivität L

Ohmscher Widerstand

Mit und sinusförmigen Verläufen folgt:

Bei ohmschen Widerständen sind Strom und Spannung in Phase.

Leistung am ohmschen Widerstand

Momentanleistung (für ):

Mittlere Leistung:

Leistung wird ständig verbraucht → Wirkwiderstand

Beispiel: Einphasiges Laden von E-Autos

Ein Elektrofahrzeug wird mit Wechselstrom bei und geladen:

• Ladedauer für 40-kWh-Akku: ca. 11 Stunden
• Bei :

Kondensator im Wechselstromkreis

Die Änderung der Ladung ist der Strom:

Einsetzen der Sinusverläufe (→ Tafel) liefert:

• Amplituden:
• Phasen:

Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um voraus.

Leistung am Kondensator

• Positive Leistung: Aufladen; negative: Entladen
• Mittlere Leistung:

→ Blindwiderstand: Energie pendelt zwischen Quelle und elektrischem Feld

Induktivität im Wechselstromkreis

Grundgleichung (Selbstinduktion, Kapitel 5!):

Einsetzen der Sinusverläufe liefert:

• Amplituden:
• Phasen:

An der Induktivität eilt die Spannung dem Strom um voraus.

Merkspruch: „Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten; im Kondensator eilt der Strom vor."

Leistung an der Induktivität

• Positive Leistung: Aufbau des Magnetfelds; negative: Abbau
• Mittlere Leistung:

→ Blindwiderstand: Energie pendelt zwischen Quelle und Magnetfeld

Impedanz & Admittanz

Impedanz (komplexer Widerstand):

Admittanz (komplexer Leitwert):

Ohm’sches Gesetz, Kirchhoff, Reihen-/Parallelschaltung, Teiler, Zweipoltheorie — alles gilt weiter, nur mit komplexen Größen!

Impedanzen der Grundelemente

Ohmscher Widerstand:

Kapazität (Strom eilt vor):

Induktivität (Spannung eilt vor):

Serienschaltung R und L

Komplexe Maschenregel:

Impedanz:

Betrag und Phase:

Parallelschaltung R und L

Komplexe Knotenregel:

Admittanz (parallel → Admittanzen addieren!):

Betrag und Phase:

Serienschaltung / Parallelschaltung R und C

Serie:

Parallel:

Vorzeichen von : kapazitiv → negativ, induktiv → positiv

Übersichtstabelle Grundschaltungen

Jetzt sind Sie dran: RL-Schaltung komplett (zu zweit)

Aufgabe 19 (Klausur-Grundmuster — mit Zeigerdiagramm!)

Eine Reihenschaltung aus und einer Spule mit liegt an (komplexer Effektivwert).

a) Berechnen Sie in Komponenten- und Polarform.
b) Berechnen Sie den Strom sowie und .
c) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm mit , , , (Achsen skalieren!).
d) Geben Sie für den Strom an: Effektivwert , Amplitude und Phase .

Rückblick: Leistung an R, L und C

Am Widerstand R: — Energie wird verbraucht,

An C und L: — Energie pendelt,

In der Praxis: Kombinationen aus R, L, C mit beliebiger Phasenverschiebung (Motor: –; Netzteil: R-C)

Frage: Wie berechnet man die Leistung bei beliebigem ?

Momentanleistung mit Phasenverschiebung

Mit trigonometrischer Umformung und Effektivwerten , :

• Die Leistung oszilliert mit doppelter Frequenz
• Ein konstanter Anteil (wird verbraucht) + ein pendelnder Anteil (Mittelwert 0)

Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Wirkleistung (Mittelwert, tatsächlich umgesetzt):

Blindleistung (pendelnder Energiefluss):

Scheinleistung (Netzbelastung, Dimensionierung!):

Vorzeichen von : induktiv positiv, kapazitiv negativ.

Blindleistung: Praktische Bedeutung

Blindleistung trägt nicht zur nutzbaren Leistung bei, belastet aber das Netz:

• Höhere Ströme in Leitungen und Transformatoren
• Erhöhte Verluste:
• Spannungsabfälle im Netz

Beispiel Transformator mit :
bei liefert er nur — voll ausgelastet, aber 30 % „verschenkt".

Konsequenz: Industriekunden zahlen Strafgebühren bei .

Komplexe Scheinleistung: Motivation

Naiver Ansatz: — die Phasen addieren sich → falsch!

Wir brauchen die Differenz .

Lösung: konjugiert komplexer Strom

Definition der komplexen Scheinleistung

• Betrag:
• Phase:

Alternative Darstellungen:

Beispiel RL-Reihenschaltung: — Realteil = Wirkleistung an R, Imaginärteil = Blindleistung an L. Am Vorzeichen von erkennt man die Impedanzcharakteristik (+ induktiv, − kapazitiv)!

Leistungsdreieck

Das Leistungsdreieck visualisiert den Zusammenhang:

• Wirkleistung:
• Blindleistung:
• Scheinleistung:
• Phasenwinkel:

Beispiel Industriebetrieb: , → , — der Trafo muss für 1000 kVA ausgelegt sein!

Leistungsfaktor cos φ

Energieversorger fordern ; bei statt fließt 26 % mehr Strom für dieselbe Wirkleistung.

Blindleistungskompensation

Problem bei induktiven Verbrauchern (Motoren, Trafos): , niedriger , hohe Ströme, Strafzahlungen.

Lösung: Kondensatoren parallel schalten — kompensiert :

(: vorher, : Ziel; vollständige Kompensation: )

Warum parallel? Damit die Spannung am Verbraucher — und damit seine Wirkleistung — unverändert bleibt!

Kompensation: Praxisbeispiel

Betrieb: , (),

Vorher: , ,

Kompensation auf :

Nachher: ,

• Strom: −20 %, Leitungsverluste (): −36 %, keine Strafzahlungen

Jetzt sind Sie dran: Leuchtstoffröhre (zu zweit)

Aufgabe 20 (= Palme B5, Aufgabe 2 — kompletter Klausur-Durchlauf)

Eine Leuchtstoffröhre mit Vorschaltdrossel (= Reihenschaltung aus und ; , ) liegt am Netz (, ).

a) Wie hoch ist die Scheinleistung ? Wie groß ist ?
b) Wie groß sind und ?
c) Ein Kondensator soll die gesamte Blindleistung kompensieren. Wie muss er geschaltet werden (Begründung)?
d) Berechnen Sie .
e) Veranschaulichen Sie die Kompensation im Zeigerdiagramm.

Resonanz: Der Serienschwingkreis

Reihenschaltung aus R, L und C:

Bei der Resonanzfrequenz heben sich und auf:

Bei :

• — rein reell, minimal → Strom maximal
• Der Zweipol nimmt nur Wirkleistung auf ()

Klausur-Formulierung: „Bei welcher Frequenz nimmt die Schaltung nur Wirkleistung auf? Wie nennt man diesen Arbeitspunkt?" → Resonanz!

Resonanz: Der Parallelschwingkreis

L und C parallel (ggf. mit R):

Bei :

• minimal → maximal, rein reell
• Strom von außen minimal — L und C tauschen ihre Energie untereinander aus (Kreisstrom!)

Serienresonanz: minimal • Parallelresonanz: maximal — beide: reell,

Impedanzcharakteristik

Wie „verhält sich" ein Zweipol bei gegebener Frequenz?

• (bzw. , ): induktiv
• : kapazitiv
• : reell — Resonanzfall (oder rein ohmsch)

Beispiel Serienschwingkreis:

• : → kapazitiv
• : → induktiv

Klausur-Frage: „Welche Impedanzcharakteristik weist der Zweipol auf (Begründung)?" → Vorzeichen von oder angeben!

Frequenzverhalten: Die Grenzfälle ω → 0 und ω → ∞

Mächtige Kontrolltechnik (und Klausur-Standardfrage!): ersetze die Blindelemente durch ihre Grenzfälle —

Vorgehen: Schaltung zweimal neu zeichnen (einmal pro Grenzfall), Blindelemente ersetzen, Verhalten ablesen.

So erklärt man die Filterwirkung einer Schaltung: Was passiert mit dem Ausgangssignal bei tiefen/hohen Frequenzen? (Tiefpass, Hochpass, ...)

Jetzt sind Sie dran: Resonanz & Grenzfälle (zu zweit)

Aufgabe 21

Ein Serienschwingkreis besteht aus , , .

a) Bei welcher Kreisfrequenz (und Frequenz ) nimmt die Schaltung nur Wirkleistung auf?
b) Wie groß ist bei ?
c) Welche Impedanzcharakteristik hat die Schaltung bei ? (Begründung!)
d) Geben Sie für und an. Was macht diese Schaltung mit sehr langsamen und sehr schnellen Signalen?

Klausuraufgabe: Zweipol (zu zweit)

(komplexer Effektivwert); , . Bei nimmt die Schaltung auf. ( ist nicht gegeben — Sie brauchen es nicht!)

a) Berechnen Sie . Welche Impedanzcharakteristik liegt vor (Begründung)?
b) Berechnen Sie und .
c) Berechnen Sie , dann und , dann .
d) Zeichnen Sie , , , , als Effektivwertzeiger.
e) Geben Sie , und an.
f) Bei nimmt der Zweipol nur Wirkleistung auf — wie heißt dieser Arbeitspunkt? Geben Sie für und an.